Алексей Михайлович Горбачев родился 14 апреля 1919 года в селе Шустово Курской области в крестьянской семье. Окончил семилетку в Донбассе.
В 1941 году окончил 2-й Харьковский медицинский институт и со студенческой скамьи ушел на фронт. Был военным врачом на Волховском и Ленинградском фронтах. За участие в Великой Отечественной войне А. М. Горбачев награжден орденом Красной Звезды и медалями.
В 1945 году был принят в члены КПСС.
После окончания войны — военный врач. В феврале 1956 года уволился в запас.
Писать А. М. Горбачев начал еще в студенческие годы. Начиная с 1939 года, его стихи, фельетоны и рассказы публиковались в районных и областных газетах. Многие его стихи опубликованы во фронтовой печати.
Первое крупное произведение А. М. Горбачева — повесть о военных врачах «Офицер медицинской службы»— вышло из печати в Киеве в 1952 году.
В этом же году А. М. Горбачев был принят в члены Союза писателей СССР.
Пьесы А. М. Горбачева «Под счастливой звездой», «Коса на камень» и «Веселый Гай» поставлены Оренбургским театром музыкальной комедии. Пьеса «Коса на камень» поставлена Ивановским и некоторыми другими театрами музыкальной комедии. Ряд театров Урала осуществил постановку пьесы «Наш друг хирург» (по роману «Сельский врач»).
Скончался в Оренбурге 7 сентября 1997 г.